京都大学 代数学代数学II 第一回 2
kを可換環として
k[x] k代数
Aがk代数なら、$ Aut_k^{al}Ak代数の自己同型群
al はalgebra
Hom_k とかいたらk加群の準同型
Aut_k M k加群の同型
$ \varphi : k[x] \rightarrow k[x] k自己同型
このとき、
$ f(x) が規約 $ \Leftrightarrow $ \varphi(f(x))が規約
証明
$ \Rightarrow
もし
$ \varphi(f(x)) = g(x) h(x)なら
$ f(x) = \varphi^{-1} ( g(x) ) \varphi^{-1}(h(x))
f(x)は規約なので、$ \varphi^{-1} ( g(x) ), \varphi^{-1}(h(x))
どちらかが単元
phiは単元を保つので、g(x),h(x)のどちらかが規約
よって$ \varphi(f(x)) は規約
$ \Leftarrow
$ \varphi^{-1}を考えればよい
特に、f(x) 規約 $ \Leftrightarrow f(ax+b) が規約
（$ a \in k^\times 乗法群
$ f(x) = a_0 x^n + ... a_n \in A[x]
$ p \in A素元
pはa_0を割らず、a_1...a_nを割り、
p^2はa_nを割らない
とき、f(x)はK上の規約
Ex
1
$ f(x) x^3 + 4x + 2 \in \mathbb{Z[x]}
p=2 Q上規約
2
$ A = \mathbb{C}[t], K = \mathbb{C}(t)
$ f(x) = x^3 - t^2x + t \in A[x]
[A / (t) $ \simeq \mathbb{c}
t -> 0
素元
f(x)はK上規約になる
prop
UFDとして証明するが、正規環でなりたつのであとで証明し直す
$ f(x) \in A[x] モニック
https://youtu.be/3R6oz7LkM10?t=786